chapter 9. 최단 경로(다익스트라)

 

다익스트라 알고리즘	-한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구하는 경우 -일차원배열 사용
플로이드 워셜 알고리즘	-모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구하는 경우 -중간노드 이용 -이차원 배열 사용

 

 

1. 다익스트라 알고리즘

특정한 노드에서 각 노드까지의 최단 거리를 구해주는 알고리즘

매번 '가장 비용이 적은 노드'를 선택하기 때문에 그리디 알고리즘으로 분류된다

우선순위 큐를 사용해 구현하면 시간 복잡도 O(ElogV)이 보장된다

거리를 우선순위로 큐에 삽입하기 때문에 거리가 짧은 노드부터 탐색하게 된다

 

 

 

다익스트라 알고리즘의 원리는 다음과 같다.

 

1. 출발 노드를 설정한다

2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.

3. 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.

4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.

5. 위 과정에서 3과 4번을 반복한다.

 

 

 

 

① 시작 노드를 기준으로 테이블 초기화

 

 

 우리는 1번 노드에서 시작할거다. 최단거리 테이블의 1번 노드에는 거리 0을, 나머지 노드에는 무한을 넣어놓는다

 

 

 

 

 

② 1번 노드 선택

 

 방문하지 않은 노드 중 가장 거리가 짧은 1번 노드를 선택한다.

 

 

1번 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산해 최단 거리 테이블을 갱신한다.

2번노드 2(0+2), 3번노드 5(0+5), 4번노드 1(0+1) 갱신

 

 

 

 

 

③ 4번 노드 선택

방문하지 않은 노드 중 가장 거리가 짧은 4번 노드를 선택한다

 

4번 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산해 최단 거리 테이블을 갱신한다.

3번노드 4(1+3), 5번노드 2(1+1)

 

 

 

 

 

④ 2번 노드 선택

방문하지 않은 노드 중 거리가 짧은 노드는 2, 5 두 개가 있다

그 중 번호가 작은 2번 노드를 선택한다

 

2번 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산해 최단 거리 테이블을 갱신한다.

4번노드 4(2+2), 3번노드 5(2+3)

 

 

2번노드를 거쳐가면 4번노드는 4의 값을 갖게 되는데 최단거리 테이블의 값이 더 작으므로 갱신하지 않는다.

3번노드는 5의 값을 갖게 되는데 최단거리 테이블의 값이 더 작으므로 갱신하지 않는다.

 

 

 

 

⑤ 5번 노드 선택

방문하지 않은 노드 중 가장 거리가 짧은 5번 노드를 선택한다

 

5번 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산해 최단 거리 테이블을 갱신한다.

3번노드 3(2+1), 6번노드 5(2+2)

 

 

 

 

 

⑥ 최종

위와 같이 계속 반복해나가면 아래와 같은 테이블이 완성된다

 

 

 

 

 

노드의 연결정보와 비용을 담는 graph 변수와

최단 거리 테이블인 1차원 배열 distance 를 통해 구현할 수 있다

distance 테이블은 가장 적은 값을 갖고, 방문하지 않은 노드를 중간노드로 선정한다

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
 
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
 
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))
 
def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
 
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
 
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

 

 

입력 예시	6 11 1 1 2 2 1 3 5 1 4 1 2 3 3 2 4 2 3 2 3 3 6 5 4 3 3 4 5 1 5 3 1 5 6 2
출력 예시	0 2 3 1 2 4

 

 

 

2. 플로이드 워셜 알고리즘

 

 

 

 

출처 : 이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬 (나동빈 저)