chapter 9. 최단 경로(플로이드 워셜)

2. 플로이드 워셜 알고리즘

모든 노드 간 최단 거리를 구하는 알고리즘

출발노드에서 도착노드로 바로 가는 거리와 중간노드를 거쳐가는 거리 중 짧은 거리를 선택한다

2차원 배열을 생성해 중간노드를 갱신하는 횟수를 노드 갯수만큼 반복한다

시간복잡도는 O(N^3)이다

 

 

 

 

① 테이블 초기화

 

 

 

 

② 1번 노드를 거쳐 가는 경우

1번 노드와 관련된 노드, 출발노드와 도착노드가 같은 칸을 제외하고 확인해야한다.

1번 노드를 제외한 2번, 3번, 4번 노드에서 2개의 노드를 뽑는 경우를 고려해야 한다.

그러므로 고려해야할 칸은 모두 6 = ₃P₂ 개다(주황색)

 

D₂₃=min(D₂₃, D₂₁+D₁₃)

D₂₄=min(D₂₄, D₂₁+D₁₄)

D₃₂=min(D₃₂, D₃₁+D₁₂)

D₃₄=min(D₃₄, D₃₁+D₁₄)

D₄₂=min(D₄₂, D₄₁+D₁₂)

D₄₃=min(D₄₃, D₄₁+D₁₃)

 

 

 

 

 

③ 2번 노드를 거쳐 가는 경우

마찬가지로 6개의 칸을 검증해봐야 한다

 

D₁₃=min(D₁₃, D₁₂+D₂₃)

D₁₄=min(D₁₄, D₁₂+D₂₄)

D₃₁=min(D₃₁, D₃₂+D₂₁)

D₃₄=min(D₃₄, D₃₂+D₂₄)

D₄₁=min(D₄₁, D₄₂+D₂₁)

D₄₃=min(D₄₃, D₄₂+D₂₃)

 

 

 

 

 

④ 최종

위와 같이 3, 4번 노드에 대해서 반복하면 결과는 다음과 같다

 

 

 

 

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)  # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
 
# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
 
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0
 
# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    if graph[a][b] > c:
        graph[a][b] = c
 
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
 
# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == 1e9:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()
 

 

 

 

 

중간 노드 k, 시작노드 a, 끝노드 b

 

 

입력 예시	4 7 1 2 4 1 4 6 2 1 3 2 3 7 3 1 5 3 4 4 4 3 2
출력 예시	0 4 8 6 3 0 7 9 5 9 0 4 7 11 2 0

 

 

미래도시

INF = int(1e9)  # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
 
# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
 
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0
 
# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a][b] = 1
    graph[b][a] = 1
 
#목표노드, 중간노드
x, k = map(int, input().split())
 
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
 
distance=graph[1][k]+graph[k][x]
 
# 수행된 결과를 출력
if distance >= 1e9:
    print("-1")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
    print(distance)
 

 

 

 

전보

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
 
#도시의 개수, 통로의 개수, 메시지를 보내고자 하는 도시
n, m, start = map(int, input().split())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
 
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))
 
def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
 
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
 
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
max_distance=0
cnt=0
for i in range(1, n + 1):
    if i==start:
        continue
    if distance[i] != INF:
        cnt+=1
        if max_distance<distance[i]:
            max_distance=distance[i]
print(cnt, max_distance)

 

 

 

 

 

 

 

출처 : 이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬 (나동빈 저)